Theorem fzaddel 9839

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzaddel	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))

Proof of Theorem fzaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
2		zaddcl 9094	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
3	1, 2	2thd 174	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℤ ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ))
4	3	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ ℤ ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ))
5		zre 9058	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 9058	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
7		zre 9058	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
8		leadd1 8192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1258	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
10	9	3expb 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
11	10	adantlr 468	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12		zre 9058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		leadd1 8192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
14	6, 12, 7, 13	syl3an 1258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
15	14	3com12 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
16	15	3expb 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
17	16	adantll 467	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
18	4, 11, 17	3anbi123d 1290	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
19		elfz1 9795	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
20	19	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
21		zaddcl 9094	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
22		zaddcl 9094	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
23		elfz1 9795	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
24	21, 22, 23	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
25	24	anandirs 582	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
26	25	adantrl 469	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
27	18, 20, 26	3bitr4d 219	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619   + caddc 7623   ≤ cle 7801  ℤcz 9054  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  fzsubel  9840  ser3mono  10251  bcp1nk  10508  mptfzshft  11211  binomlem  11252