Theorem fzctr 9903

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))

Proof of Theorem fzctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 8995	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2		nn0re 8979	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nn0addge1 9016	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))
4	2, 3	mpancom 418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))
5		nn0cn 8980	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	2timesd 8955	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
7	4, 6	breqtrrd 3951	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
8		nn0z 9067	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		0zd 9059	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
10		2z 9075	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zmulcl 9100	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 8, 11	sylancr 410	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
13		elfz 9789	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
14	8, 9, 12, 13	syl3anc 1216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
15	1, 7, 14	mpbir2and 928	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   · cmul 7618   ≤ cle 7794  2c2 8764  ℕ₀cn0 8970  ℤcz 9047  ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-fz 9784

This theorem is referenced by: (None)