Theorem fzf 9794

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3182	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ⊆ ℤ
2		zex 9063	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	elpw2 4082	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbir 145	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ
5	4	rgen2w 2488	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ
6		df-fz 9791	. . 3 ⊢ ... = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)})
7	6	fmpo 6099	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
8	5, 7	mpbi 144	1 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  {crab 2420   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ⟶wf 5119   ≤ cle 7801  ℤcz 9054  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-neg 7936  df-z 9055  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  fzen  9823  fzof  9921  fzoval  9925