Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig GIF version

Theorem fzfig 8887
 Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀...𝑁) Fin)

Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 8262 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
2 eqid 2037 . . . . . . 7 frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0) = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)
32frechashgf1o 8886 . . . . . 6 frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0):𝜔–1-1-onto→ℕ0
4 peano2uz 8302 . . . . . . 7 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) (ℤ𝑀))
5 uznn0sub 8280 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) 0)
64, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑁 (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) 0)
7 f1ocnvdm 5364 . . . . . 6 ((frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0):𝜔–1-1-onto→ℕ0 ((𝑁 + 1) − 𝑀) 0) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) 𝜔)
83, 6, 7sylancr 393 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) 𝜔)
9 nnfi 6251 . . . . 5 ((frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) 𝜔 → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) Fin)
108, 9syl 14 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) Fin)
112frecfzen2 8885 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
12 enfii 6253 . . . 4 (((frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) Fin (𝑀...𝑁) ≈ (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) Fin)
1310, 11, 12syl2anc 391 . . 3 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) Fin)
141, 13syl6bir 153 . 2 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀...𝑁) Fin))
15 zltnle 8067 . . . . 5 ((𝑁 𝑀 ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
1615ancoms 255 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
17 fzn 8676 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
1816, 17bitr3d 179 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (¬ 𝑀𝑁 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19 0fin 6255 . . . 4 Fin
20 eleq1 2097 . . . 4 ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) Fin ↔ ∅ Fin))
2119, 20mpbiri 157 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) Fin)
2218, 21syl6bi 152 . 2 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (¬ 𝑀𝑁 → (𝑀...𝑁) Fin))
23 zdcle 8093 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
24 df-dc 742 . . 3 (DECID 𝑀𝑁 ↔ (𝑀𝑁 ¬ 𝑀𝑁))
2523, 24sylib 127 . 2 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀𝑁 ¬ 𝑀𝑁))
2614, 22, 25mpjaod 637 1 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀...𝑁) Fin)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  DECID wdc 741   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218   class class class wbr 3755   ↦ cmpt 3809  𝜔com 4256  ◡ccnv 4287  –1-1-onto→wf1o 4844  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917   ≈ cen 6155  Fincfn 6157  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-fin 6160  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645 This theorem is referenced by:  fzfigd  8888  fzofig  8889
 Copyright terms: Public domain W3C validator