Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzind GIF version

Theorem fzind 8543
 Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
fzind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fzind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fzind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fzind.5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
fzind.6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fzind (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 3796 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥𝑁𝑀𝑁))
21anbi2d 452 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
3 fzind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
42, 3imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)))
5 breq1 3796 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑁𝑦𝑁))
65anbi2d 452 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁)))
7 fzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
86, 7imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒)))
9 breq1 3796 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
109anbi2d 452 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11 fzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
1210, 11imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13 breq1 3796 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
1413anbi2d 452 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁)))
15 fzind.4 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
1614, 15imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁) → 𝜏)))
17 fzind.5 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
18173expib 1142 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓))
19 zre 8436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20 zre 8436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21 p1le 7994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁)
22213expia 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁𝑦𝑁))
2319, 20, 22syl2an 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁𝑦𝑁))
2423imdistanda 437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁)))
2524imim1d 74 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26253ad2ant2 961 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27 zltp1le 8486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
2827adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
2928expcom 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
3029pm5.32d 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
3130adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3332expcom 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒𝜃)))
34333expa 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒𝜃)))
3534com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3631, 35sylbird 168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3736ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃))))
3837com23 77 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
3938expd 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))))
40393impib 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
4140com23 77 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
4241impd 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
4342a2d 26 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
4426, 43syld 44 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 8539 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁) → 𝜏))
4645expcomd 1371 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47463expb 1140 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾)) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
4847expcom 114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
4948com23 77 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
50493impia 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
5150impd 251 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
5251impcom 123 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  ℝcr 7042  1c1 7044   + caddc 7046   < clt 7215   ≤ cle 7216  ℤcz 8432 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433 This theorem is referenced by:  fnn0ind  8544  fzind2  9325
 Copyright terms: Public domain W3C validator