ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm GIF version

Theorem fzm 8672
Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzm (x x (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 (ℤ𝑀))
Distinct variable groups:   x,𝑀   x,𝑁

Proof of Theorem fzm
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 8663 . . 3 (x (𝑀...𝑁) → 𝑁 (ℤ𝑀))
21exlimiv 1486 . 2 (x x (𝑀...𝑁) → 𝑁 (ℤ𝑀))
3 eluzfz1 8665 . . 3 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 (𝑀...𝑁))
4 elex2 2564 . . 3 (𝑀 (𝑀...𝑁) → x x (𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . 2 (𝑁 (ℤ𝑀) → x x (𝑀...𝑁))
62, 5impbii 117 1 (x x (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98  wex 1378   wcel 1390  cfv 4845  (class class class)co 5455  cuz 8249  ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  fzn  8676
  Copyright terms: Public domain W3C validator