Theorem fzm 8672

Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzm	⊢ (∃x x ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Distinct variable groups:   x,𝑀   x,𝑁

Proof of Theorem fzm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 8663	. . 3 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	exlimiv 1486	. 2 ⊢ (∃x x ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzfz1 8665	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elex2 2564	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ∃x x ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ∃x x ∈ (𝑀...𝑁))
6	2, 5	impbii 117	1 ⊢ (∃x x ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 98  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℤ_≥cuz 8249  ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by:  fzn  8676