ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm GIF version

Theorem fzm 8845
Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzm (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fzm
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 8836 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21exlimiv 1489 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzfz1 8838 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elex2 2567 . . 3 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
62, 5impbii 117 1 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98  wex 1381  wcel 1393  cfv 4865  (class class class)co 5475  cuz 8421  ...cfz 8817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-neg 7141  df-z 8194  df-uz 8422  df-fz 8818
This theorem is referenced by:  fzn  8849
  Copyright terms: Public domain W3C validator