ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm GIF version

Theorem fzm 9219
Description: Properties of a finite interval of integers which is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzm (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem fzm
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 9210 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21exlimiv 1530 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzfz1 9212 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elex2 2625 . . 3 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
62, 5impbii 124 1 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103  wex 1422  wcel 1434  cfv 4955  (class class class)co 5569  cuz 8786  ...cfz 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-cnex 7215  ax-resscn 7216  ax-pre-ltirr 7236  ax-pre-ltwlin 7237
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4078  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-fv 4963  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-pnf 7303  df-mnf 7304  df-xr 7305  df-ltxr 7306  df-le 7307  df-neg 7435  df-z 8519  df-uz 8787  df-fz 9192
This theorem is referenced by:  fzn  9223
  Copyright terms: Public domain W3C validator