ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz GIF version

Theorem fzneuz 8961
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))

Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 8524 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝐾))
21adantl 262 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝐾))
3 eluzelz 8480 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 zre 8247 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
54ltp1d 7894 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
6 peano2z 8279 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 zltnle 8289 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
86, 7mpdan 398 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
95, 8mpbid 135 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
103, 9syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
11 elfzle2 8890 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
1210, 11nsyl 558 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1312ad2antrr 457 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
14 nelneq2 2139 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ𝐾) = (𝑀...𝑁))
152, 13, 14syl2anc 391 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (ℤ𝐾) = (𝑀...𝑁))
16 eqcom 2042 . . 3 ((ℤ𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
1715, 16sylnib 601 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
18 eluzfz2 8894 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
1918ad2antrr 457 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
20 nelneq2 2139 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
2119, 20sylancom 397 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
22 simpr 103 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
233adantr 261 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 eluzdc 8545 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2522, 23, 24syl2anc 391 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
26 df-dc 743 . . 3 (DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2725, 26sylib 127 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2817, 21, 27mpjaodan 711 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  DECID wdc 742   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  1c1 6888   + caddc 6890   < clt 7058  cle 7059  cz 8243  cuz 8471  ...cfz 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-fz 8873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator