ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq GIF version

Theorem fzo0dvdseq 11482
Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 9901 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2 elfzoelz 9892 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 9891 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zltnle 9068 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
61, 5mpbid 146 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
76adantr 274 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
83adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 elfzonn0 9931 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
109adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12 eldifsn 3620 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
1310, 11, 12sylanbrc 413 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14 dfn2 8958 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
1513, 14eleqtrrdi 2211 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16 dvdsle 11469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
178, 15, 16syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817impancom 258 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴𝐵))
197, 18mtod 637 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
20 0z 9033 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
21 zdceq 9094 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
2220, 21mpan2 421 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → DECID 𝐵 = 0)
23 nnedc 2290 . . . . . . 7 (DECID 𝐵 = 0 → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
2422, 23syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
252, 24syl 14 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
2625adantr 274 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
2719, 26mpbid 146 . . 3 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 = 0)
2827ex 114 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
29 dvds0 11435 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
303, 29syl 14 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
31 breq2 3903 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵𝐴 ∥ 0))
3230, 31syl5ibrcom 156 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴𝐵))
3328, 32impbid 128 1 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  cdif 3038  {csn 3497   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  0cc0 7588   < clt 7768  cle 7769  cn 8688  0cn0 8945  cz 9022  ..^cfzo 9887  cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  fzocongeq  11483
  Copyright terms: Public domain W3C validator