ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0sn0fzo1 GIF version

Theorem fzo0sn0fzo1 9384
Description: A half-open range of nonnegative integers is the union of the singleton set containing 0 and a half-open range of positive integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo0sn0fzo1 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = ({0} ∪ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem fzo0sn0fzo1
StepHypRef Expression
1 1nn0 8448 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
21a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
3 nnnn0 8439 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 nnge1 8206 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
5 elfz2nn0 9282 . . . 4 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
62, 3, 4, 5syl3anbrc 1123 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
7 fzosplit 9340 . . 3 (1 ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^1) ∪ (1..^𝑁)))
86, 7syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = ((0..^1) ∪ (1..^𝑁)))
9 fzo01 9379 . . . 4 (0..^1) = {0}
109a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^1) = {0})
1110uneq1d 3136 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((0..^1) ∪ (1..^𝑁)) = ({0} ∪ (1..^𝑁)))
128, 11eqtrd 2115 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = ({0} ∪ (1..^𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  cun 2981  {csn 3417   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565  0cc0 7120  1c1 7121  cle 7293  cn 8183  0cn0 8432  ...cfz 9182  ..^cfzo 9306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-fz 9183  df-fzo 9307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator