Theorem fzo0to42pr 9997

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 8994	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 8996	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 8790	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 8797	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 8893	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 7866	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 9892	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1163	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 9954	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 9995	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 9084	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 9925	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 8798	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7713	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 8795	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8781	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 7906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2160	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2143	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8051	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8780	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2160	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5785	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 9082	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 9857	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2160	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2143	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3604	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2164	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3228	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2160	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069  {cpr 3528   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   ≤ cle 7801   − cmin 7933  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ...cfz 9790  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by: (None)