Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr GIF version

Theorem fzo0to42pr 9178
 Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 8256 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 8258 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 8060 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 8067 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 8156 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 7179 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 9075 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1097 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 9135 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 7 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 9176 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 8332 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 9107 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 7 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4cn 8068 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
16 ax-1cn 7035 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
17 3cn 8065 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
18 df-4 8051 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
1917, 16addcomi 7218 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = (1 + 3)
2018, 19eqtri 2076 . . . . . . . . 9 4 = (1 + 3)
2120eqcomi 2060 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2215, 16, 17, 21subaddrii 7363 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
23 df-3 8050 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
2422, 23eqtri 2076 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
2524oveq2i 5551 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26 2z 8330 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
27 fzpr 9041 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2925, 28eqtri 2076 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
3023eqcomi 2060 . . . . 5 (2 + 1) = 3
3130preq2i 3479 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
3214, 29, 313eqtri 2080 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
3311, 32uneq12i 3123 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
3410, 33eqtri 2076 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   ∪ cun 2943  {cpr 3404   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   ≤ cle 7120   − cmin 7245  2c2 8040  3c3 8041  4c4 8042  ℕ0cn0 8239  ℤcz 8302  ...cfz 8976  ..^cfzo 9101 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977  df-fzo 9102 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator