ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoval GIF version

Theorem fzoval 9893
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9890 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
21a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ))
3 elfzel1 9773 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ))
5 peano2zm 9060 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6 fzf 9762 . . . . . . . 8 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
76fovcl 5844 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
85, 7sylan2 284 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ)
9 id 19 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀𝑦 = 𝑀)
10 oveq1 5749 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 − 1) = (𝑁 − 1))
119, 10oveqan12d 5761 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑀𝑧 = 𝑁) → (𝑦...(𝑧 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12 df-fzo 9888 . . . . . . 7 ..^ = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑦...(𝑧 − 1)))
1311, 12ovmpoga 5868 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
148, 13mpd3an3 1301 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
1514eleq2d 2187 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
1615expcom 115 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
172, 4, 16pm5.21ndd 679 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
1817eqrdv 2115 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  𝒫 cpw 3480  (class class class)co 5742  1c1 7589  cmin 7901  cz 9022  ...cfz 9758  ..^cfzo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by:  elfzo  9894  fzodcel  9897  fzon  9911  fzoss1  9916  fzoss2  9917  fzval3  9949  fzo0to2pr  9963  fzo0to3tp  9964  fzo0to42pr  9965  fzoend  9967  fzofzp1b  9973  elfzom1b  9974  peano2fzor  9977  fzoshftral  9983  zmodfzo  10088  zmodidfzo  10094  fzofig  10173  hashfzo  10536  fzosump1  11154  telfsumo  11203  fsumparts  11207  geoserap  11244  geo2sum2  11252  dfphi2  11823
  Copyright terms: Public domain W3C validator