Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzprval GIF version

Theorem fzprval 9164
 Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 8447 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 fzpr 9159 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
31, 2ax-mp 7 . . . 4 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4 df-2 8154 . . . . 5 2 = (1 + 1)
54oveq2i 5548 . . . 4 (1...2) = (1...(1 + 1))
64preq2i 3475 . . . 4 {1, 2} = {1, (1 + 1)}
73, 5, 63eqtr4i 2112 . . 3 (1...2) = {1, 2}
87raleqi 2554 . 2 (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9 1ex 7165 . . 3 1 ∈ V
10 2ex 8167 . . 3 2 ∈ V
11 fveq2 5203 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
12 iftrue 3358 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1311, 12eqeq12d 2096 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14 fveq2 5203 . . . 4 (𝑥 = 2 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘2))
15 1ne2 8294 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
1615necomi 2331 . . . . . . 7 2 ≠ 1
17 pm13.181 2328 . . . . . . 7 ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
1816, 17mpan2 416 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
1918neneqd 2267 . . . . 5 (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
2019iffalsed 3363 . . . 4 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2114, 20eqeq12d 2096 . . 3 (𝑥 = 2 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
229, 10, 13, 21ralpr 3449 . 2 (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
238, 22bitri 182 1 (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2246  ∀wral 2349  ifcif 3353  {cpr 3401  ‘cfv 4926  (class class class)co 5537  1c1 7033   + caddc 7035  2c2 8145  ℤcz 8421  ...cfz 9094 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-fz 9095 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator