ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrev GIF version

Theorem fzrev 9832
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 ancom 264 . . 3 (((𝐽𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝐽𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁))
2 zre 9026 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
3 zre 9026 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
4 zre 9026 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 suble 8170 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
62, 3, 4, 5syl3an 1243 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
763comr 1174 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
873expb 1167 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
98adantll 467 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
10 zre 9026 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11 lesub 8171 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
1210, 2, 3, 11syl3an 1243 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
13123expb 1167 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
1413adantlr 468 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
159, 14anbi12d 464 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝐽𝐾)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
161, 15syl5rbbr 194 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
17 simprr 506 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18 zsubcl 9063 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
1918ancoms 266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
2019ad2ant2lr 501 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
21 zsubcl 9063 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
2221ancoms 266 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
2322ad2ant2r 500 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
24 elfz 9764 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
2517, 20, 23, 24syl3anc 1201 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
26 zsubcl 9063 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2726adantl 275 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
28 simpll 503 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simplr 504 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 elfz 9764 . . 3 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1201 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
3216, 25, 313bitr4d 219 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  cle 7769  cmin 7901  cz 9022  ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-fz 9759
This theorem is referenced by:  fzrev2  9833  fzrev3  9835  fzrevral  9853  fsumrev  11180
  Copyright terms: Public domain W3C validator