ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzss1 GIF version

Theorem fzss1 9227
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9187 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
2 id 19 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 uztrn 8786 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anr 284 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 elfzuz3 9188 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
65adantl 271 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
7 elfzuzb 9185 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
84, 6, 7sylanbrc 408 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
98ex 113 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
109ssrdv 3014 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  wss 2982  cfv 4952  (class class class)co 5564  cuz 8770  ...cfz 9175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-pre-ltwlin 7221
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-neg 7419  df-z 8503  df-uz 8771  df-fz 9176
This theorem is referenced by:  fzp1ss  9236  ige2m1fz  9273  fzoss1  9327  fzossnn0  9331  isermono  9623  iseqsplit  9624  bcpasc  9860
  Copyright terms: Public domain W3C validator