ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzss2 GIF version

Theorem fzss2 9028
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 8987 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
21adantl 266 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3 elfzuz3 8988 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑘))
4 uztrn 8584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
53, 4sylan2 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
6 elfzuzb 8985 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
72, 5, 6sylanbrc 402 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
87ex 112 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
98ssrdv 2978 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  wss 2944  cfv 4929  (class class class)co 5539  cuz 8568  ...cfz 8975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltwlin 7054
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-neg 7247  df-z 8302  df-uz 8569  df-fz 8976
This theorem is referenced by:  fzssp1  9031  elfz0add  9080  elfz0addOLD  9081  fzoss2  9129  bcm1k  9627
  Copyright terms: Public domain W3C validator