ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzval2 GIF version

Theorem fzval2 8979
Description: An alternative way of expressing a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fzval2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))

Proof of Theorem fzval2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 8978 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
2 zssre 8309 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
3 ressxr 7128 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
42, 3sstri 2982 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ*
54sseli 2969 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
64sseli 2969 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ*)
7 iccval 8890 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
85, 6, 7syl2an 277 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
98ineq1d 3165 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) = ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ))
10 inrab2 3238 . . . 4 ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
11 sseqin2 3184 . . . . . 6 (ℤ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ)
124, 11mpbi 137 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ
13 rabeq 2568 . . . . 5 ((ℝ* ∩ ℤ) = ℤ → {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
1412, 13ax-mp 7 . . . 4 {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
1510, 14eqtri 2076 . . 3 ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
169, 15syl6req 2105 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
171, 16eqtrd 2088 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  {crab 2327  cin 2944  wss 2945   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cr 6946  *cxr 7118  cle 7120  cz 8302  [,]cicc 8861  ...cfz 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-neg 7248  df-z 8303  df-icc 8865  df-fz 8977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator