ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i GIF version

Theorem genplt2i 6665
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
genplt2i ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 genplt2i.ord . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
32adantl 266 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4 ltrelnq 6520 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4419 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
64brel 4419 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶Q𝐷Q))
7 simpll 489 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐴Q)
85, 6, 7syl2an 277 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴Q)
9 simplr 490 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐵Q)
105, 6, 9syl2an 277 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵Q)
11 simprl 491 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐶Q)
125, 6, 11syl2an 277 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶Q)
13 genplt2i.com . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
1413adantl 266 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 5697 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
161, 15mpbid 139 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17 simpr 107 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18 simprr 492 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐷Q)
195, 6, 18syl2an 277 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷Q)
203, 12, 19, 10caovordd 5696 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
2117, 20mpbid 139 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22 ltsonq 6553 . . 3 <Q Or Q
2322, 4sotri 4747 . 2 (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
2416, 21, 23syl2anc 397 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  Qcnq 6435   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-lti 6462  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  genprndl  6676  genprndu  6677  genpdisj  6678
  Copyright terms: Public domain W3C validator