ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i GIF version

Theorem genplt2i 7286
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genplt2i.com ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
genplt2i ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 genplt2i.ord . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
32adantl 275 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
4 ltrelnq 7141 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4561 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
64brel 4561 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶Q𝐷Q))
7 simpll 503 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐴Q)
85, 6, 7syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐴Q)
9 simplr 504 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐵Q)
105, 6, 9syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐵Q)
11 simprl 505 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐶Q)
125, 6, 11syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶Q)
13 genplt2i.com . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
1413adantl 275 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥))
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 5908 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶)))
161, 15mpbid 146 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶))
17 simpr 109 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18 simprr 506 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → 𝐷Q)
195, 6, 18syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷Q)
203, 12, 19, 10caovordd 5907 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)))
2117, 20mpbid 146 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
22 ltsonq 7174 . . 3 <Q Or Q
2322, 4sotri 4904 . 2 (((𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝐵𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷)) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
2416, 21, 23syl2anc 408 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴𝐺𝐶) <Q (𝐵𝐺𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  Qcnq 7056   <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-lti 7083  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  genprndl  7297  genprndu  7298  genpdisj  7299
  Copyright terms: Public domain W3C validator