Theorem gt0ap0d 8391

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, 𝐴 must be an element of ℝ, not just ℝ^*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
gt0ap0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		gt0ap0 8388	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ℝcr 7619  0cc0 7620   < clt 7800   # cap 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8609  prodgt0  8610  ltdiv1  8626  ltmuldiv  8632  ledivmul  8635  lt2mul2div  8637  lemuldiv  8639  ltrec  8641  lerec  8642  ltrec1  8646  lerec2  8647  ledivdiv  8648  lediv2  8649  ltdiv23  8650  lediv23  8651  lediv12a  8652  recp1lt1  8657  ledivp1  8661  nnap0  8749  rpap0  9458  modq0  10102  mulqmod0  10103  negqmod0  10104  modqlt  10106  modqdiffl  10108  modqid0  10123  modqcyc  10132  modqmuladdnn0  10141  q2txmodxeq0  10157  modqdi  10165  ltexp2a  10345  leexp2a  10346  expnbnd  10415  expcanlem  10462  expcan  10463  resqrexlemover  10782  resqrexlemcalc1  10786  resqrexlemcalc2  10787  ltabs  10859  divcnv  11266  expcnvre  11272  georeclim  11282  geoisumr  11287  cvgratnnlembern  11292  cvgratnnlemfm  11298  cvgratz  11301  cnopnap  12763  tangtx  12919