ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d GIF version

Theorem gt0ne0d 7577
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 7084 . 2 0 ∈ ℝ
2 gt0ne0d.1 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltne 7161 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
41, 2, 3sylancr 399 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3791  cr 6945  0cc0 6946   < clt 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1re 7035  ax-addrcl 7038  ax-rnegex 7050  ax-pre-ltirr 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-ltxr 7123
This theorem is referenced by:  modqval  9273  modqvalr  9274  modqcl  9275  flqpmodeq  9276  modq0  9278  modqge0  9281  modqlt  9282  modqdiffl  9284  modqdifz  9285  modqvalp1  9292  modqid  9298  modqcyc  9308  modqadd1  9310  modqmuladd  9315  modqmuladdnn0  9317  modqmul1  9326  modqdi  9341  modqsubdir  9342
  Copyright terms: Public domain W3C validator