ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0srpr GIF version

Theorem gt0srpr 6976
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 enrer 6963 . . . . 5 ~R Er (P × P)
2 erdm 6175 . . . . 5 ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
31, 2ax-mp 7 . . . 4 dom ~R = (P × P)
4 ltrelsr 6966 . . . . . . 7 <R ⊆ (R × R)
54brel 4412 . . . . . 6 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0RR ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~RR))
65simprd 112 . . . . 5 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~RR)
7 df-nr 6955 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
86, 7syl6eleq 2172 . . . 4 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9 ecelqsdm 6235 . . . 4 ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
103, 8, 9sylancr 405 . . 3 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11 opelxp 4394 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴P𝐵P))
1210, 11sylib 120 . 2 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴P𝐵P))
13 ltrelpr 6746 . . . 4 <P ⊆ (P × P)
1413brel 4412 . . 3 (𝐵<P 𝐴 → (𝐵P𝐴P))
1514ancomd 263 . 2 (𝐵<P 𝐴 → (𝐴P𝐵P))
16 df-0r 6959 . . . . 5 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
1716breq1i 3794 . . . 4 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18 1pr 6795 . . . . 5 1PP
19 ltsrprg 6975 . . . . 5 (((1PP ∧ 1PP) ∧ (𝐴P𝐵P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2018, 18, 19mpanl12 427 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2117, 20syl5bb 190 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22 ltaprg 6860 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P ∧ 1PP) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2318, 22mp3an3 1258 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2423ancoms 264 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2521, 24bitr4d 189 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴))
2612, 15, 25pm5.21nii 653 1 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3403   class class class wbr 3787   × cxp 4363  dom cdm 4365  (class class class)co 5537   Er wer 6162  [cec 6163   / cqs 6164  Pcnp 6532  1Pc1p 6533   +P cpp 6534  <P cltp 6536   ~R cer 6537  Rcnr 6538  0Rc0r 6539   <R cltr 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-iplp 6709  df-iltp 6711  df-enr 6954  df-nr 6955  df-ltr 6958  df-0r 6959
This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7001  mulgt0sr  7005  srpospr  7010  prsrpos  7012
  Copyright terms: Public domain W3C validator