ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0srpr GIF version

Theorem gt0srpr 6831
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 enrer 6818 . . . . 5 ~R Er (P × P)
2 erdm 6116 . . . . 5 ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
31, 2ax-mp 7 . . . 4 dom ~R = (P × P)
4 ltrelsr 6821 . . . . . . 7 <R ⊆ (R × R)
54brel 4392 . . . . . 6 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0RR ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~RR))
65simprd 107 . . . . 5 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~RR)
7 df-nr 6810 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
86, 7syl6eleq 2130 . . . 4 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9 ecelqsdm 6176 . . . 4 ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
103, 8, 9sylancr 393 . . 3 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11 opelxp 4374 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴P𝐵P))
1210, 11sylib 127 . 2 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴P𝐵P))
13 ltrelpr 6601 . . . 4 <P ⊆ (P × P)
1413brel 4392 . . 3 (𝐵<P 𝐴 → (𝐵P𝐴P))
1514ancomd 254 . 2 (𝐵<P 𝐴 → (𝐴P𝐵P))
16 df-0r 6814 . . . . 5 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
1716breq1i 3771 . . . 4 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18 1pr 6650 . . . . 5 1PP
19 ltsrprg 6830 . . . . 5 (((1PP ∧ 1PP) ∧ (𝐴P𝐵P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2018, 18, 19mpanl12 412 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2117, 20syl5bb 181 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22 ltaprg 6715 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P ∧ 1PP) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2318, 22mp3an3 1221 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2423ancoms 255 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
2521, 24bitr4d 180 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴))
2612, 15, 25pm5.21nii 620 1 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378   class class class wbr 3764   × cxp 4343  dom cdm 4345  (class class class)co 5512   Er wer 6103  [cec 6104   / cqs 6105  Pcnp 6387  1Pc1p 6388   +P cpp 6389  <P cltp 6391   ~R cer 6392  Rcnr 6393  0Rc0r 6394   <R cltr 6399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814
This theorem is referenced by:  recexgt0sr  6856  mulgt0sr  6860  srpospr  6865  prsrpos  6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator