ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gtnqex GIF version

Theorem gtnqex 6854
Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
gtnqex {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Proof of Theorem gtnqex
StepHypRef Expression
1 nqex 6667 . 2 Q ∈ V
2 ltrelnq 6669 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4438 . . . 4 (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴Q𝑥Q))
43simprd 112 . . 3 (𝐴 <Q 𝑥𝑥Q)
54abssi 3078 . 2 {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
61, 5ssexi 3936 1 {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1434  {cab 2069  Vcvv 2610   class class class wbr 3805  Qcnq 6584   <Q cltq 6589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-qs 6199  df-ni 6608  df-nqqs 6652  df-ltnqqs 6657
This theorem is referenced by:  nqprl  6855  nqpru  6856  1prl  6859  1pru  6860  addnqprlemrl  6861  addnqprlemru  6862  addnqprlemfl  6863  addnqprlemfu  6864  mulnqprlemrl  6877  mulnqprlemru  6878  mulnqprlemfl  6879  mulnqprlemfu  6880  ltnqpr  6897  ltnqpri  6898  archpr  6947  cauappcvgprlemladdfu  6958  cauappcvgprlemladdfl  6959  cauappcvgprlem2  6964  caucvgprlemladdfu  6981  caucvgprlem2  6984  caucvgprprlemopu  7003
  Copyright terms: Public domain W3C validator