ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfpm6th GIF version

Theorem halfpm6th 8143
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 7988 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 6975 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 7984 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3re 7987 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 3pos 8008 . . . . . . 7 0 < 3
64, 5gt0ap0ii 7616 . . . . . 6 3 # 0
7 2ap0 8007 . . . . . 6 2 # 0
81, 1, 2, 3, 6, 7divmuldivapi 7746 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
91, 6dividapi 7719 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
109oveq1i 5522 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11 halfcn 8137 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1211mulid2i 7028 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1310, 12eqtri 2060 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
141mulid1i 7027 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
15 3t2e6 8069 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1614, 15oveq12i 5524 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
178, 13, 163eqtr3i 2068 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1817oveq1i 5522 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19 6cn 7995 . . . . 5 6 ∈ ℂ
20 6re 7994 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
21 6pos 8015 . . . . . 6 0 < 6
2220, 21gt0ap0ii 7616 . . . . 5 6 # 0
2319, 22pm3.2i 257 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24 divsubdirap 7682 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
251, 2, 23, 24mp3an 1232 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26 3m1e2 8034 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2726oveq1i 5522 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
283mulid2i 7028 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2928, 15oveq12i 5524 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
303, 7dividapi 7719 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
3130oveq2i 5523 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
322, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 7746 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
331, 6recclapi 7716 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3433mulid1i 7027 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3531, 32, 343eqtr3i 2068 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3627, 29, 353eqtr2i 2066 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3718, 25, 363eqtr2i 2066 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
381, 2, 19, 22divdirapi 7743 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39 df-4 7973 . . . . 5 4 = (3 + 1)
4039oveq1i 5522 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
4117oveq1i 5522 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4238, 40, 413eqtr4ri 2071 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43 2t2e4 8067 . . . 4 (2 · 2) = 4
4443, 15oveq12i 5524 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4530oveq2i 5523 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
463, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 7746 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
473, 1, 6divclapi 7728 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4847mulid1i 7027 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4945, 46, 483eqtr3i 2068 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
5042, 44, 493eqtr2i 2066 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
5137, 50pm3.2i 257 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cc 6885  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890   · cmul 6892  cmin 7180   # cap 7570   / cdiv 7649  2c2 7962  3c3 7963  4c4 7964  6c6 7966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-5 7974  df-6 7975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator