ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfpm6th GIF version

Theorem halfpm6th 8318
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 8181 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 7131 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 8177 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3re 8180 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 3pos 8200 . . . . . . 7 0 < 3
64, 5gt0ap0ii 7794 . . . . . 6 3 # 0
7 2ap0 8199 . . . . . 6 2 # 0
81, 1, 2, 3, 6, 7divmuldivapi 7927 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
91, 6dividapi 7900 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
109oveq1i 5553 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11 halfcn 8312 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1211mulid2i 7184 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1310, 12eqtri 2102 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
141mulid1i 7183 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
15 3t2e6 8255 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1614, 15oveq12i 5555 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
178, 13, 163eqtr3i 2110 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1817oveq1i 5553 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19 6cn 8188 . . . . 5 6 ∈ ℂ
20 6re 8187 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
21 6pos 8207 . . . . . 6 0 < 6
2220, 21gt0ap0ii 7794 . . . . 5 6 # 0
2319, 22pm3.2i 266 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24 divsubdirap 7863 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
251, 2, 23, 24mp3an 1269 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26 3m1e2 8225 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2726oveq1i 5553 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
283mulid2i 7184 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2928, 15oveq12i 5555 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
303, 7dividapi 7900 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
3130oveq2i 5554 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
322, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 7927 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
331, 6recclapi 7897 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3433mulid1i 7183 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3531, 32, 343eqtr3i 2110 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3627, 29, 353eqtr2i 2108 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3718, 25, 363eqtr2i 2108 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
381, 2, 19, 22divdirapi 7924 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39 df-4 8167 . . . . 5 4 = (3 + 1)
4039oveq1i 5553 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
4117oveq1i 5553 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4238, 40, 413eqtr4ri 2113 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43 2t2e4 8253 . . . 4 (2 · 2) = 4
4443, 15oveq12i 5555 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4530oveq2i 5554 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
463, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 7927 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
473, 1, 6divclapi 7909 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4847mulid1i 7183 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4945, 46, 483eqtr3i 2110 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
5042, 44, 493eqtr2i 2108 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
5137, 50pm3.2i 266 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cc 7041  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048  cmin 7346   # cap 7748   / cdiv 7827  2c2 8156  3c3 8157  4c4 8158  6c6 8160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-5 8168  df-6 8169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator