Theorem hashfz 10567

Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9331	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9335	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		1z 9080	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 9095	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 410	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6		fzen 9823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
8	1	zcnd 9174	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 7713	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 7970	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12		1cnd 7782	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
13	2	zcnd 9174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 8	subcld 8073	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 12, 8	addsub12d 8096	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵 − 𝐴)))
16	12, 14, 15	comraddd 7919	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	11, 16	oveq12d 5792	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
18	7, 17	breqtrd 3954	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
19	1, 2	fzfigd 10204	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
20		1zzd 9081	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℤ)
21	2, 1	zsubcld 9178	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 9176	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
23	20, 22	fzfigd 10204	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) ∈ Fin)
24		hashen 10530	. . . 4 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
25	19, 23, 24	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
26	18, 25	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
27		uznn0sub 9357	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
28		peano2nn0 9017	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
29		hashfz1 10529	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
30	27, 28, 29	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
31	26, 30	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≈ cen 6632  Fincfn 6634  ℂcc 7618  1c1 7621   + caddc 7623   − cmin 7933  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  ♯chash 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-ihash 10522

This theorem is referenced by:  hashfzo  10568  hashfzp1  10570  hashfz0  10571