Theorem hashsng 10544

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9080	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 6707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfig 6708	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
5		snfig 6708	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ∈ Fin)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
7		hashen 10530	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
8	4, 6, 7	sylancl 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
9	3, 8	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
10		1nn0 8993	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		hashfz1 10529	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
13		fzsn 9846	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
14	13	fveq2d 5425	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
15	12, 14	syl5reqr 2187	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
17	9, 16	syl6eq 2188	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≈ cen 6632  Fincfn 6634  1c1 7621  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ...cfz 9790  ♯chash 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-ihash 10522

This theorem is referenced by:  fihashen1  10545  hashunsng  10553  hashprg  10554  hashdifsn  10565  fsumconst  11223  phicl2  11890  dfphi2  11896