Theorem hashunsng 10553

Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsng	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem hashunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 518	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
2		snfig 6708	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
3	2	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐵} ∈ Fin)
4		simplr 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
5		disjsn 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
7		hashun 10551	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})))
9		hashsng 10544	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐵}) = 1)
10	9	oveq2d 5790	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
11	10	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐴) + (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
12	8, 11	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	12	expcom 115	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069   ∩ cin 3070  ∅c0 3363  {csn 3527  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  1c1 7621   + caddc 7623  ♯chash 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-ihash 10522

This theorem is referenced by:  hashprg  10554  hashp1i  10556  hashxp  10572