ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ialgcvg GIF version

Theorem ialgcvg 9740
Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function 𝐶:𝑆⟶ℕ0 whose value is guaranteed to decrease for each iteration of 𝐹 until it reaches 0. That is, if 𝑋𝑆 is not a fixed point of 𝐹, then (𝐶‘(𝐹𝑋)) < (𝐶𝑋).

If 𝐶 is a countdown function for algorithm 𝐹, the sequence (𝐶‘(𝑅𝑘)) reaches 0 after at most 𝑁 steps, where 𝑁 is the value of 𝐶 for the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvg.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}), 𝑆)
algcvg.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvg.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvg.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
ialgcvg.s 𝑆𝑉
Assertion
Ref Expression
ialgcvg (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem ialgcvg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 8455 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 algcvg.2 . . . 4 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}), 𝑆)
3 0zd 8205 . . . 4 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
4 id 19 . . . 4 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
5 algcvg.1 . . . . 5 𝐹:𝑆𝑆
65a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
7 ialgcvg.s . . . . 5 𝑆𝑉
87a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆𝑉)
91, 2, 3, 4, 6, 8ialgrf 9737 . . 3 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
10 algcvg.5 . . . 4 𝑁 = (𝐶𝐴)
11 algcvg.3 . . . . 5 𝐶:𝑆⟶ℕ0
1211ffvelrni 5264 . . . 4 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
1310, 12syl5eqel 2124 . . 3 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
14 fvco3 5207 . . 3 ((𝑅:ℕ0𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘𝑁) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
159, 13, 14syl2anc 391 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘𝑁) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
16 fco 5019 . . . 4 ((𝐶:𝑆⟶ℕ0𝑅:ℕ0𝑆) → (𝐶𝑅):ℕ0⟶ℕ0)
1711, 9, 16sylancr 393 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐶𝑅):ℕ0⟶ℕ0)
18 0nn0 8144 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
19 fvco3 5207 . . . . . 6 ((𝑅:ℕ0𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘0) = (𝐶‘(𝑅‘0)))
209, 18, 19sylancl 392 . . . . 5 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘0) = (𝐶‘(𝑅‘0)))
211, 2, 3, 4, 6, 8ialgr0 9736 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (𝑅‘0) = 𝐴)
2221fveq2d 5145 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘0)) = (𝐶𝐴))
2320, 22eqtrd 2072 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘0) = (𝐶𝐴))
2423, 10syl6reqr 2091 . . 3 (𝐴𝑆𝑁 = ((𝐶𝑅)‘0))
259ffvelrnda 5265 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
26 fveq2 5141 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
2726fveq2d 5145 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶‘(𝐹𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
2827neeq1d 2221 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
29 fveq2 5141 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
3027, 29breq12d 3774 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
3128, 30imbi12d 223 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘)))))
32 algcvg.4 . . . . . 6 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
3331, 32vtoclga 2616 . . . . 5 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
3425, 33syl 14 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
35 peano2nn0 8170 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
36 fvco3 5207 . . . . . . 7 ((𝑅:ℕ0𝑆 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
379, 35, 36syl2an 273 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
381, 2, 3, 4, 6, 8ialgrp1 9738 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
3938fveq2d 5145 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
4037, 39eqtrd 2072 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
4140neeq1d 2221 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
42 fvco3 5207 . . . . . 6 ((𝑅:ℕ0𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘𝑘) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
439, 42sylan 267 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅)‘𝑘) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
4440, 43breq12d 3774 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) < ((𝐶𝑅)‘𝑘) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
4534, 41, 443imtr4d 192 . . 3 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → ((𝐶𝑅)‘(𝑘 + 1)) < ((𝐶𝑅)‘𝑘)))
4617, 24, 45nn0seqcvgd 9733 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐶𝑅)‘𝑁) = 0)
4715, 46eqtr3d 2074 1 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wne 2204  {csn 3372   class class class wbr 3761   × cxp 4306  ccom 4312  wf 4861  cfv 4865  (class class class)co 5475  1st c1st 5728  0cc0 6846  1c1 6847   + caddc 6849   < clt 7016  0cn0 8129  seqcseq 9065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-iseq 9066
This theorem is referenced by:  ialgcvga  9743
  Copyright terms: Public domain W3C validator