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Theorem ialgcvga 9743
Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvga.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}), 𝑆)
algcvga.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvga.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
ialgcvga.s 𝑆𝑉
Assertion
Ref Expression
ialgcvga (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem ialgcvga
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3 𝑁 = (𝐶𝐴)
2 algcvga.3 . . . 4 𝐶:𝑆⟶ℕ0
32ffvelrni 5264 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
41, 3syl5eqel 2124 . 2 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
5 nn0z 8213 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz1 8425 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾)))
7 fveq2 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁))
87fveq2d 5145 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
98eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
109imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)))
11 fveq2 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑘))
1211fveq2d 5145 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
1312eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0))
1413imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0)))
15 fveq2 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑅𝑚) = (𝑅‘(𝑘 + 1)))
1615fveq2d 5145 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
1716eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
1817imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
19 fveq2 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐾 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝐾))
2019fveq2d 5145 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝐾)))
2120eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
2221imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
23 algcvga.1 . . . . . . . . 9 𝐹:𝑆𝑆
24 algcvga.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}), 𝑆)
25 algcvga.4 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
26 ialgcvga.s . . . . . . . . 9 𝑆𝑉
2723, 24, 2, 25, 1, 26ialgcvg 9740 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
2827a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
29 nn0ge0 8155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
3029adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
31 nn0re 8138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
32 zre 8197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
33 0re 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
34 letr 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3533, 34mp3an1 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3631, 32, 35syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3730, 36mpand 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
38 elnn0z 8206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
3938simplbi2 367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
4039adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
4137, 40syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
424, 41sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
4342impr 361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4443expcom 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
45443adant1 922 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
4645ancld 308 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0)))
47 nn0uz 8455 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
48 0zd 8205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
49 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
5023a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
5126a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝑆𝑉)
5247, 24, 48, 49, 50, 51ialgrf 9737 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
5352ffvelrnda 5265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
54 fveq2 5141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
5554fveq2d 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶‘(𝐹𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
5655neeq1d 2221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
57 fveq2 5141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
5855, 57breq12d 3774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
5956, 58imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘)))))
6059, 25vtoclga 2616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
6123, 2algcvgb 9742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))))
62 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6361, 62syl6bi 152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)))
6460, 63mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6553, 64syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6647, 24, 48, 49, 50, 51ialgrp1 9738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
6766fveq2d 5145 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
6867eqeq1d 2048 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6965, 68sylibrd 158 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
7046, 69syl6 29 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
7170a2d 23 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
7210, 14, 18, 22, 28, 71uzind 8297 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
73723expib 1107 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
746, 73sylbid 139 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
755, 74syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
7675com3r 73 . 2 (𝐴𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
774, 76mpd 13 1 (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  wne 2204  {csn 3372   class class class wbr 3761   × cxp 4306  ccom 4312  wf 4861  cfv 4865  (class class class)co 5475  1st c1st 5728  cr 6845  0cc0 6846  1c1 6847   + caddc 6849   < clt 7016  cle 7017  0cn0 8129  cz 8193  cuz 8421  seqcseq 9065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-iseq 9066
This theorem is referenced by:  ialgfx  9744
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