ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccdili GIF version

Theorem iccdili 9174
Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdili.1 𝐴 ∈ ℝ
iccdili.2 𝐵 ∈ ℝ
iccdili.3 𝑅 ∈ ℝ+
iccdili.4 (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
iccdili.5 (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccdili (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccdili
StepHypRef Expression
1 iccdili.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 iccdili.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
3 iccssre 9131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 417 . . 3 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
54sseli 3005 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 iccdili.3 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ+
7 iccdili.4 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
8 iccdili.5 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
97, 8iccdil 9173 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
101, 2, 9mpanl12 427 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
116, 10mpan2 416 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
1211biimpd 142 . 2 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
135, 12mpcom 36 1 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2983  (class class class)co 5565  cr 7119   · cmul 7125  +crp 8892  [,]cicc 9067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-rp 8893  df-icc 9071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator