ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccss GIF version

Theorem iccss 9692
Description: Condition for a closed interval to be a subset of another closed interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccss (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem iccss
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 7779 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 7779 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
31, 2anim12i 336 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
4 df-icc 9646 . . 3 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
5 xrletr 9559 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝑤) → 𝐴𝑤))
6 xrletr 9559 . . 3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐷𝐷𝐵) → 𝑤𝐵))
74, 4, 5, 6ixxss12 9657 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
83, 7sylan 281 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465  wss 3041   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  *cxr 7767  cle 7769  [,]cicc 9642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-icc 9646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator