ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccssico2 GIF version

Theorem iccssico2 9098
Description: Condition for a closed interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssico2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem iccssico2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 9045 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elmpt2cl1 5750 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32adantr 270 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41elmpt2cl2 5751 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantr 270 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61elixx3g 9052 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
76simprbi 269 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
87simpld 110 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶)
98adantr 270 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
101elixx3g 9052 . . . . 5 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
1110simprbi 269 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))
1211simprd 112 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
1312adantl 271 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
14 iccssico 9096 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
153, 5, 9, 13, 14syl22anc 1171 1 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920  wcel 1434  {crab 2357  wss 2982   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  *cxr 7266   < clt 7267  cle 7268  [,)cico 9041  [,]cicc 9042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-ico 9045  df-icc 9046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator