ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 GIF version

Theorem iccssioo2 9034
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 eliooxr 9015 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
21adantr 270 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
3 eliooord 9016 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
43adantr 270 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
54simpld 110 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
6 eliooord 9016 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐷𝐷 < 𝐵))
76adantl 271 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝐷𝐷 < 𝐵))
87simprd 112 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
9 iccssioo 9030 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
102, 5, 8, 9syl12anc 1168 1 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  wss 2974   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  *cxr 7203   < clt 7204  (,)cioo 8976  [,]cicc 8979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-ioo 8980  df-icc 8983
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator