Theorem iftrue 3479

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedlema 953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
2	1	abbi2dv 2258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
3		df-if 3475	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
4	2, 3	syl6reqr 2191	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ifcif 3474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-if 3475

This theorem is referenced by:  iftruei  3480  iftrued  3481  ifsbdc  3486  ifcldadc  3501  ifbothdadc  3503  ifbothdc  3504  ifiddc  3505  ifcldcd  3507  ifandc  3508  fidifsnen  6764  nnnninf  7023  mkvprop  7032  uzin  9358  fzprval  9862  fztpval  9863  modifeq2int  10159  bcval  10495  bcval2  10496  sumrbdclem  11146  fsum3cvg  11147  summodclem2a  11150  isumss2  11162  fsum3ser  11166  fsumsplit  11176  sumsplitdc  11201  prodrbdclem  11340  fproddccvg  11341  flodddiv4  11631  gcd0val  11649  dfgcd2  11702  eucalgf  11736  eucalginv  11737  eucalglt  11738  unct  11954  dvexp2  12845  nnsf  13199  nninfsellemsuc  13208