Theorem iinab 3869

Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iinab	⊢ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} = {𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑}

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem iinab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2279	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
2		nfab1 2281	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∣ 𝜑}
3	1, 2	nfiinxy 3835	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑}
4		nfab1 2281	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑}
5	3, 4	cleqf 2303	. 2 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} = {𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑} ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑}))
6		abid 2125	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
7	6	ralbii 2439	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
8		vex 2684	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		eliin 3813	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑}))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑})
11		abid 2125	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
12	7, 10, 11	3bitr4i 211	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑})
13	5, 12	mpgbir 1429	1 ⊢ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} = {𝑦 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑}

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  ∀wral 2414  Vcvv 2681  ∩ ciin 3809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-iin 3811

This theorem is referenced by:  iinrabm  3870