ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imadd GIF version

Theorem imadd 9704
Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imadd ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem imadd
StepHypRef Expression
1 recl 9680 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
32recnd 7112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-icn 7036 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 imcl 9681 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
65adantr 265 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 7112 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8 mulcl 7065 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
94, 7, 8sylancr 399 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 recl 9680 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1110adantl 266 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1211recnd 7112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
13 imcl 9681 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1413adantl 266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1514recnd 7112 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
16 mulcl 7065 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
174, 15, 16sylancr 399 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
183, 9, 12, 17add4d 7242 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
19 replim 9686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
20 replim 9686 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
2119, 20oveqan12d 5558 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
224a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
2322, 7, 15adddid 7108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
2423oveq2d 5555 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
2518, 21, 243eqtr4d 2098 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))))
2625fveq2d 5209 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))))
27 readdcl 7064 . . . 4 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
281, 10, 27syl2an 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
29 readdcl 7064 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
305, 13, 29syl2an 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
31 crim 9685 . . 3 ((((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
3228, 30, 31syl2anc 397 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
3326, 32eqtrd 2088 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cfv 4929  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  ici 6948   + caddc 6949   · cmul 6951  cre 9667  cim 9668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-2 8048  df-cj 9669  df-re 9670  df-im 9671
This theorem is referenced by:  imsub  9705  cjadd  9711  imaddi  9756  imaddd  9787
  Copyright terms: Public domain W3C validator