ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imneg GIF version

Theorem imneg 9901
Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imneg (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))

Proof of Theorem imneg
StepHypRef Expression
1 recl 9878 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 7209 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3 ax-icn 7133 . . . . . 6 i ∈ ℂ
4 imcl 9879 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 7209 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 mulcl 7162 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
73, 5, 6sylancr 405 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
82, 7negdid 7499 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
9 replim 9884 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
109negeqd 7370 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
11 mulneg2 7567 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
123, 5, 11sylancr 405 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
1312oveq2d 5559 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
148, 10, 133eqtr4d 2124 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
1514fveq2d 5213 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = (ℑ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
161renegcld 7551 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
174renegcld 7551 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18 crim 9883 . . 3 ((-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℑ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
1916, 17, 18syl2anc 403 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
2015, 19eqtrd 2114 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  ici 7045   + caddc 7046   · cmul 7048  -cneg 7347  cre 9865  cim 9866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-2 8165  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869
This theorem is referenced by:  imsub  9903  cjneg  9915  imnegi  9950  imnegd  9980
  Copyright terms: Public domain W3C validator