Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  indstr GIF version

Theorem indstr 8602
 Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr.2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3793 . . . . 5 (𝑧 = 1 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 1))
21imbi1d 224 . . . 4 (𝑧 = 1 → ((𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ (𝑦 < 1 → 𝜓)))
32ralbidv 2341 . . 3 (𝑧 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 1 → 𝜓)))
4 breq2 3793 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑤))
54imbi1d 224 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ (𝑦 < 𝑤𝜓)))
65ralbidv 2341 . . 3 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓)))
7 breq2 3793 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < (𝑤 + 1)))
87imbi1d 224 . . . 4 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
98ralbidv 2341 . . 3 (𝑧 = (𝑤 + 1) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
10 breq2 3793 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑥))
1110imbi1d 224 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
1211ralbidv 2341 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
13 nnnlt1 7986 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
1413pm2.21d 557 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 < 1 → 𝜓))
1514rgen 2389 . . 3 𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 1 → 𝜓)
16 1nn 7971 . . . . 5 1 ∈ ℕ
17 elex2 2585 . . . . 5 (1 ∈ ℕ → ∃𝑢 𝑢 ∈ ℕ)
18 nfra1 2370 . . . . . 6 𝑦𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓)
1918r19.3rm 3335 . . . . 5 (∃𝑢 𝑢 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓)))
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓))
21 rsp 2384 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 < 𝑤𝜓)))
2221com12 30 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → (𝑦 < 𝑤𝜓)))
2322adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → (𝑦 < 𝑤𝜓)))
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
2524rgen 2389 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑)
26 nfv 1435 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤(∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑)
27 nfv 1435 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓)
28 nfsbc1v 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥[𝑤 / 𝑥]𝜑
2927, 28nfim 1478 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)
30 breq2 3793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑤))
3130imbi1d 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑦 < 𝑥𝜓) ↔ (𝑦 < 𝑤𝜓)))
3231ralbidv 2341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓)))
33 sbceq1a 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝜑[𝑤 / 𝑥]𝜑))
3432, 33imbi12d 227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
3526, 29, 34cbvral 2544 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))
3625, 35mpbi 137 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)
3736rspec 2388 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))
38 vex 2575 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
4038, 39sbcie 2817 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜓)
41 dfsbcq 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑤 / 𝑥]𝜑))
4240, 41syl5bbr 187 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (𝜓[𝑤 / 𝑥]𝜑))
4342biimprcd 153 . . . . . . . . . 10 ([𝑤 / 𝑥]𝜑 → (𝑦 = 𝑤𝜓))
4437, 43syl6 33 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → (𝑦 = 𝑤𝜓)))
4544adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → (𝑦 = 𝑤𝜓)))
4623, 45jcad 295 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → ((𝑦 < 𝑤𝜓) ∧ (𝑦 = 𝑤𝜓))))
47 jaob 639 . . . . . . 7 (((𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤) → 𝜓) ↔ ((𝑦 < 𝑤𝜓) ∧ (𝑦 = 𝑤𝜓)))
4846, 47syl6ibr 155 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → ((𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤) → 𝜓)))
49 nnleltp1 8331 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦𝑤𝑦 < (𝑤 + 1)))
50 nnz 8291 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
51 nnz 8291 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℤ)
52 zleloe 8319 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑦𝑤 ↔ (𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤)))
5350, 51, 52syl2an 277 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦𝑤 ↔ (𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤)))
5449, 53bitr3d 183 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑤 + 1) ↔ (𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤)))
5554ancoms 259 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑤 + 1) ↔ (𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤)))
5655imbi1d 224 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓) ↔ ((𝑦 < 𝑤𝑦 = 𝑤) → 𝜓)))
5748, 56sylibrd 162 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
5857ralimdva 2402 . . . 4 (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
5920, 58syl5bi 145 . . 3 (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤𝜓) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 7976 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓))
6160, 24mpd 13 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∨ wo 637   = wceq 1257  ∃wex 1395   ∈ wcel 1407  ∀wral 2321  [wsbc 2784   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  1c1 6918   + caddc 6920   < clt 7089   ≤ cle 7090  ℕcn 7960  ℤcz 8272 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273 This theorem is referenced by:  indstr2  8613
 Copyright terms: Public domain W3C validator