Theorem ine0 8156

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7766	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 7889	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 7859	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2310	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5782	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 7715	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8153	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	syl6req 2189	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5789	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 7713	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addid2i 7905	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 7725	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2195	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 651	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2311	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1331   ≠ wne 2308  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621  ici 7622   + caddc 7623   · cmul 7625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935

This theorem is referenced by:  inelr  8346