Theorem inelr 7619

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 7433	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2220	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 7172	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 7055	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7054	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 7146	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 7618	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 7306	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2124	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 7538	. . . . . 6 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 7005	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addid2i 7187	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 3798	. . . . . 6 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 177	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 604	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		mullt0 7519	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
19	18	anidms 383	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
20	19	ex 112	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
21	17, 20	mtoi 598	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22		mulgt0 7122	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
23	22	anidms 383	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
24	23	ex 112	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
25	17, 24	mtoi 598	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26		lttri3 7127	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
27	4, 26	mpan2 409	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
28	21, 25, 27	mpbir2and 860	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
29	2, 28	mto 596	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1257   ∈ wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  ℝcr 6916  0cc0 6917  1c1 6918  ici 6919   + caddc 6920   · cmul 6922   < clt 7089  -cneg 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-ltxr 7094  df-sub 7217  df-neg 7218

This theorem is referenced by:  rimul  7620