ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr GIF version

Theorem inelr 7751
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 7565 . . 3 i ≠ 0
21neii 2248 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 7303 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 7181 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 7180 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 7277 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 7 . . . . 5 ¬ 1 < 0
8 ixi 7750 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
95renegcli 7437 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2152 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 7670 . . . . . 6 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 7131 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312addid2i 7318 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 7143 . . . . . . 7 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 3802 . . . . . 6 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 182 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 629 . . . 4 ¬ 0 < (i · i)
18 mullt0 7651 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
1918anidms 389 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
2019ex 113 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
2117, 20mtoi 623 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22 mulgt0 7253 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
2322anidms 389 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
2423ex 113 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
2517, 24mtoi 623 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26 lttri3 7258 . . . 4 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
274, 26mpan2 416 . . 3 (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
2821, 25, 27mpbir2and 886 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
292, 28mto 621 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cr 7042  0cc0 7043  1c1 7044  ici 7045   + caddc 7046   · cmul 7048   < clt 7215  -cneg 7347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-sub 7348  df-neg 7349
This theorem is referenced by:  rimul  7752
  Copyright terms: Public domain W3C validator