Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infrenegsupex GIF version

Theorem infrenegsupex 8833
 Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infrenegsupex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
infrenegsupex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
infrenegsupex (𝜑 → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsupex
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7328 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 infrenegsupex.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infclti 6531 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
54recnd 7279 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
65negnegd 7547 . 2 (𝜑 → --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
7 negeq 7438 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → -𝑤 = -𝑧)
87cbvmptv 3893 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
98mptpreima 4864 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}
10 eqid 2083 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
1110negiso 8170 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
1211simpri 111 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
1312imaeq1i 4715 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
149, 13eqtr3i 2105 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
1514supeq1i 6496 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < )
1611simpli 109 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
17 isocnv 5503 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1816, 17ax-mp 7 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
19 isoeq1 5493 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)))
2012, 19ax-mp 7 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
2118, 20mpbi 143 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
2221a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
23 infrenegsupex.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
243cnvinfex 6526 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
252cnvti 6527 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2622, 23, 24, 25supisoti 6518 . . . . 5 (𝜑 → sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
2715, 26syl5eq 2127 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
28 df-inf 6493 . . . . . . 7 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < )
2928eqcomi 2087 . . . . . 6 sup(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
3029fveq2i 5233 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < ))
31 eqidd 2084 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
32 negeq 7438 . . . . . . 7 (𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < ) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
3332adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < )) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
345negcld 7543 . . . . . 6 (𝜑 → -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3531, 33, 4, 34fvmptd 5306 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
3630, 35syl5eq 2127 . . . 4 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
3727, 36eqtr2d 2116 . . 3 (𝜑 → -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
3837negeqd 7440 . 2 (𝜑 → --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
396, 38eqtr3d 2117 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  ∃wrex 2354  {crab 2357   ⊆ wss 2982   class class class wbr 3805   ↦ cmpt 3859  ◡ccnv 4390   “ cima 4394  ‘cfv 4952   Isom wiso 4953  supcsup 6490  infcinf 6491  ℂcc 7111  ℝcr 7112   < clt 7285  -cneg 7417 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-sup 6492  df-inf 6493  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-ltxr 7290  df-sub 7418  df-neg 7419 This theorem is referenced by:  supminfex  8836  minmax  10331  infssuzcldc  10572
 Copyright terms: Public domain W3C validator