Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioc0 GIF version

Theorem ioc0 9219
 Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ioc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocval 8888 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2064 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 xrltletr 8824 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
433com23 1121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
543expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
65rexlimdva 2450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7 qbtwnxr 9214 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
8 qre 8657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
98rexrd 7134 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
11 xrltle 8820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
12113ad2antr2 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1312anim2d 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
1410, 13anim12d 322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))))
1514ex 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
169, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
1716adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
1817pm2.43b 50 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))))
1918reximdv2 2435 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
207, 19mpd 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
21203expia 1117 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
226, 21impbid 124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2322notbid 602 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
24 rabeq0 3275 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
25 ralnex 2333 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
2624, 25bitri 177 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
2726a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
28 xrlenlt 7143 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2928ancoms 259 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3023, 27, 293bitr4d 213 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
312, 30bitrd 181 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ∃wrex 2324  {crab 2327  ∅c0 3252   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  ℝ*cxr 7118   < clt 7119   ≤ cle 7120  ℚcq 8651  (,]cioc 8859 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-ioc 8863 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator