ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooidg GIF version

Theorem iooidg 8721
Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iooidg (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)

Proof of Theorem iooidg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 8720 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)})
21anidms 377 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)})
3 xrltnsym2 8658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
43ralrimiva 2389 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
5 rabeq0 3244 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
64, 5sylibr 137 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐴)} = ∅)
72, 6eqtrd 2072 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2303  {crab 2307  c0 3221   class class class wbr 3761  (class class class)co 5475  *cxr 7015   < clt 7016  (,)cioo 8700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-lttrn 6955
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-ioo 8704
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator