Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioom GIF version

Theorem ioom 9336
 Description: An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ioom ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ioom
StepHypRef Expression
1 elioo3g 8998 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
21biimpi 118 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
32simpld 110 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
43simp1d 951 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53simp3d 953 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
63simp2d 952 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72simprd 112 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
87simpld 110 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
97simprd 112 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
104, 5, 6, 8, 9xrlttrd 8944 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
1110a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
1211exlimdv 1741 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
13 qbtwnxr 9333 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
14 df-rex 2355 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1513, 14sylib 120 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
16 simpl1 942 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 simpl2 943 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 qre 8780 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1918ad2antrl 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2019rexrd 7219 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 simprrl 506 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑥)
22 simprrr 507 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 < 𝐵)
231biimpri 131 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2416, 17, 20, 21, 22, 23syl32anc 1178 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2524ex 113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2625eximdv 1802 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2715, 26mpd 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28273expia 1141 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2912, 28impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2350   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  ℝcr 7031  ℝ*cxr 7203   < clt 7204  ℚcq 8774  (,)cioo 8976 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-q 8775  df-rp 8805  df-ioo 8980 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator