ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioopos GIF version

Theorem ioopos 9101
Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioopos (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}

Proof of Theorem ioopos
StepHypRef Expression
1 0xr 7279 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 pnfxr 7285 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iooval2 9066 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)})
41, 2, 3mp2an 417 . 2 (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)}
5 ltpnf 8984 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
65biantrud 298 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)))
76rabbiia 2596 . 2 {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (0 < 𝑥𝑥 < +∞)}
84, 7eqtr4i 2106 1 (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cr 7094  0cc0 7095  +∞cpnf 7264  *cxr 7266   < clt 7267  (,)cioo 9039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1re 7184  ax-addrcl 7187  ax-rnegex 7199  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-ioo 9043
This theorem is referenced by:  ioorp  9102  repos  9121
  Copyright terms: Public domain W3C validator