ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  irrmul GIF version

Theorem irrmul 8865
Description: The product of a real which is not rational with a nonzero rational is not rational. Note that by "not rational" we mean the negation of "is rational" (whereas "irrational" is often defined to mean apart from any rational number - given excluded middle these two definitions would be equivalent). (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
irrmul ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irrmul
StepHypRef Expression
1 eldif 2991 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2 qre 8843 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3 remulcl 7215 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
42, 3sylan2 280 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
54ad2ant2r 493 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 qdivcl 8861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
763expb 1140 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
87expcom 114 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
98adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
10 recn 7220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11103ad2ant1 960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 qcn 8852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
13123ad2ant2 961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
14 simp3 941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
15 0z 8495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℤ
16 zq 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
1715, 16ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℚ
18 qapne 8857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
1917, 18mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
20193ad2ant2 961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
2114, 20mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 # 0)
2211, 13, 21divcanap4d 8002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
23223expb 1140 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
2423eleq1d 2151 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
259, 24sylibd 147 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
2625con3d 594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
2726ex 113 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
2827com23 77 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
2928imp31 252 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
305, 29jca 300 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
31303impb 1135 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
321, 31syl3an1b 1206 . 2 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
33 eldif 2991 . 2 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
3432, 33sylibr 132 1 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  cdif 2979   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095   · cmul 7100   # cap 7800   / cdiv 7879  cz 8484  cq 8837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator