ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseq1t GIF version

Theorem iseq1t 9586
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseq1t.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseq1t.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseq1t.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseq1t.t (𝜑𝑆𝑇)
Assertion
Ref Expression
iseq1t (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseq1t
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseq1t.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 5229 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
32eleq1d 2151 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
4 iseq1t.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
54ralrimiva 2439 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 uzid 8766 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
71, 6syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
83, 5, 7rspcdva 2715 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
9 iseq1t.t . 2 (𝜑𝑆𝑇)
10 iseq1t.pl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
114, 10iseqovex 9581 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
12 iseqvalcbv 9583 . 2 frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏𝑇 ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
131, 12, 4, 10, 9iseqvalt 9584 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏𝑇 ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
141, 8, 9, 11, 12, 13frecuzrdg0t 9556 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2982  cop 3419  cfv 4952  (class class class)co 5563  cmpt2 5565  freccfrec 6059  1c1 7096   + caddc 7098  cz 8484  cuz 8752  seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-iseq 9574
This theorem is referenced by:  iseqsst  9594
  Copyright terms: Public domain W3C validator