Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqcl GIF version

Theorem iseqcl 9537
 Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqcl.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqcl.2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqcl (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqcl
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqcl.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8705 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eqid 2082 . . 3 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀)
5 fveq2 5209 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
65eleq1d 2148 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
7 iseqcl.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
87ralrimiva 2435 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
9 uzid 8714 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
103, 9syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
116, 8, 10rspcdva 2708 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
12 iseqcl.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
137, 12iseqovex 9529 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
14 eqid 2082 . . 3 frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
1514, 7, 12iseqval 9530 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
163, 4, 11, 13, 14, 15frecuzrdgtcl 9494 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
1716, 1ffvelrnd 5335 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ⟨cop 3409   ↦ cmpt 3847  ‘cfv 4932  (class class class)co 5543   ↦ cmpt2 5545  freccfrec 6039  1c1 7044   + caddc 7046  ℤcz 8432  ℤ≥cuz 8700  seqcseq 9521 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522 This theorem is referenced by:  iseqp1  9538  iseqoveq  9540  isermono  9553  iseqsplit  9554  iseqcaopr2  9557  iseqid3  9561  iseqhomo  9565  iseqz  9566  iseqdistr  9567  serige0  9570  serile  9571  expivallem  9574  expival  9575  ibcval5  9787  ialgrp1  10572
 Copyright terms: Public domain W3C validator