ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqdistr GIF version

Theorem iseqdistr 9414
Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqdistr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqdistr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
iseqdistr.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqdistr.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqdistr.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
iseqdistr.s (𝜑𝑆𝑉)
iseqdistr.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
iseqdistr.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqdistr.c (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqdistr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iseqdistr
Dummy variables 𝑏 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqdistr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 iseqdistr.4 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
3 iseqdistr.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 iseqdistr.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 iseqdistr.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
6 iseqdistr.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑆)
76adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐶𝑆)
8 iseqdistr.t . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
98ralrimivva 2418 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
10 oveq1 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝑇𝑦) = (𝑎𝑇𝑦))
1110eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎𝑇𝑦) ∈ 𝑆))
12 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎𝑇𝑦) = (𝑎𝑇𝑏))
1312eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆))
1411, 13cbvral2v 2558 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
159, 14sylib 131 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
1615adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
17 oveq1 5547 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐶 → (𝑎𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑏))
1817eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐶 → ((𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆))
19 oveq2 5548 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
2019eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆))
2118, 20rspc2va 2686 . . . . . 6 (((𝐶𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆)
227, 1, 16, 21syl21anc 1145 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆)
23 oveq2 5548 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
24 eqid 2056 . . . . . 6 (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
2523, 24fvmptg 5276 . . . . 5 (((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
261, 22, 25syl2anc 397 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
27 simprl 491 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
28 oveq2 5548 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑥))
2928eleq1d 2122 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆))
3018, 29rspc2va 2686 . . . . . . 7 (((𝐶𝑆𝑥𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆)
317, 27, 16, 30syl21anc 1145 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆)
32 oveq2 5548 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
3332, 24fvmptg 5276 . . . . . 6 ((𝑥𝑆 ∧ (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
3427, 31, 33syl2anc 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
35 simprr 492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
36 oveq2 5548 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑦))
3736eleq1d 2122 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆))
3818, 37rspc2va 2686 . . . . . . 7 (((𝐶𝑆𝑦𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
397, 35, 16, 38syl21anc 1145 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
40 oveq2 5548 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
4140, 24fvmptg 5276 . . . . . 6 ((𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
4235, 39, 41syl2anc 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
4334, 42oveq12d 5558 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
445, 26, 433eqtr4d 2098 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
45 iseqdistr.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
46 iseqdistr.f . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4745, 46eqeltrrd 2131 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆)
48 oveq2 5548 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐺𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
4948, 24fvmptg 5276 . . . . 5 (((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
502, 47, 49syl2anc 397 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
5150, 45eqtr4d 2091 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
521, 2, 3, 4, 44, 51, 46, 1iseqhomo 9412 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁))
534, 3, 2, 1iseqcl 9387 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆)
548, 6, 53caovcld 5682 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)) ∈ 𝑆)
55 oveq2 5548 . . . 4 (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
5655, 24fvmptg 5276 . . 3 (((seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
5753, 54, 56syl2anc 397 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
5852, 57eqtr3d 2090 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  cmpt 3846  cfv 4930  (class class class)co 5540  cuz 8569  seqcseq 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376
This theorem is referenced by:  iisermulc2  10091
  Copyright terms: Public domain W3C validator