Theorem iseqfeq 9547

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfeq.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseqfeq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfeq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
iseqfeq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqfeq	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqfeq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2082	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		iseqfeq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iseqfeq.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4		iseqfeq.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	iseqfcl 9535	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
6		ffn 5077	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
8		iseqfeq.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
9	8	ralrimiva 2435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
10		fveq2 5209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
11		fveq2 5209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
12	10, 11	eqeq12d 2096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
13	12	rspcv 2698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
14	9, 13	mpan9 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	14, 3	eqeltrrd 2157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	1, 2, 15, 4	iseqfcl 9535	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
17		ffn 5077	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆 → seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
19		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		elfzuz 9117	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20, 8	sylan2 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
22	21	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	3	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	15	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	4	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26	19, 22, 23, 24, 25	iseqfveq 9546	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
27	7, 18, 26	eqfnfvd 5300	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2349   Fn wfn 4927  ⟶wf 4928  ‘cfv 4932  (class class class)co 5543  ℤcz 8432  ℤ_≥cuz 8700  ...cfz 9105  seqcseq 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-iseq 9522

This theorem is referenced by: (None)