Theorem iseqfeq 9085

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfeq.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseqfeq.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqfeq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfeq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
iseqfeq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqfeq	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem iseqfeq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iseqfeq.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		iseqfeq.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4		iseqfeq.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	iseqfn 9075	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
6		iseqfeq.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
7	6	ralrimiva 2389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
8		fveq2 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
9		fveq2 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
10	8, 9	eqeq12d 2054	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
11	10	rspcv 2649	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
12	7, 11	mpan9 265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	12, 3	eqeltrrd 2115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
14	1, 2, 13, 4	iseqfn 9075	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
15		simpr 103	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		elfzuz 8829	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	16, 6	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
18	17	adantlr 446	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
19	2	adantr 261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
20	3	adantlr 446	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
21	13	adantlr 446	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
22	4	adantlr 446	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
23	15, 18, 19, 20, 21, 22	iseqfveq 9084	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
24	5, 14, 23	eqfnfvd 5231	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2303  ‘cfv 4865  (class class class)co 5475  ℤcz 8193  ℤ_≥cuz 8421  ...cfz 8817  seqcseq 9065

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-ltadd 6957

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-fz 8818  df-iseq 9066

This theorem is referenced by: (None)