Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfveq GIF version

Theorem iseqfveq 8907
 Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq.1 (φ𝑁 (ℤ𝑀))
iseqfveq.2 ((φ 𝑘 (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
iseqfveq.s (φ𝑆 𝑉)
iseqfveq.f ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
iseqfveq.g ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐺x) 𝑆)
iseqfveq.pl ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqfveq (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
Distinct variable groups:   x,𝑘,y,𝐹   𝑘,𝐺,x,y   𝑘,𝑀,x,y   𝑘,𝑁,x,y   φ,𝑘,x,y   + ,𝑘,x,y   𝑆,𝑘,x,y
Allowed substitution hints:   𝑉(x,y,𝑘)

Proof of Theorem iseqfveq
StepHypRef Expression
1 iseqfveq.1 . . . 4 (φ𝑁 (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8254 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
31, 2syl 14 . . 3 (φ𝑀 ℤ)
4 uzid 8263 . . 3 (𝑀 ℤ → 𝑀 (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . 2 (φ𝑀 (ℤ𝑀))
6 iseqfveq.s . . . 4 (φ𝑆 𝑉)
7 iseqfveq.f . . . 4 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
8 iseqfveq.pl . . . 4 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
93, 6, 7, 8iseq1 8902 . . 3 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
10 eluzfz1 8665 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 (𝑀...𝑁))
111, 10syl 14 . . . 4 (φ𝑀 (𝑀...𝑁))
12 iseqfveq.2 . . . . 5 ((φ 𝑘 (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1312ralrimiva 2386 . . . 4 (φ𝑘 (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
14 fveq2 5121 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
15 fveq2 5121 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑀))
1614, 15eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀)))
1716rspcv 2646 . . . 4 (𝑀 (𝑀...𝑁) → (𝑘 (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀)))
1811, 13, 17sylc 56 . . 3 (φ → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
199, 18eqtrd 2069 . 2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐺𝑀))
20 iseqfveq.g . 2 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐺x) 𝑆)
21 fzp1ss 8705 . . . . 5 (𝑀 ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
223, 21syl 14 . . . 4 (φ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2322sselda 2939 . . 3 ((φ 𝑘 ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 (𝑀...𝑁))
2423, 12syldan 266 . 2 ((φ 𝑘 ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
255, 19, 6, 7, 20, 8, 1, 24iseqfveq2 8905 1 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ⊆ wss 2911  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ...cfz 8644  seqcseq 8892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-iseq 8893 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator