Theorem iseqid3 9114

Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity 𝑍 is for operation +) sums to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqid3.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
iseqid3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqid3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
iseqid3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
iseqid3	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iseqid3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqid3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		iseqid3.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
3		snexg 3933	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
5		iseqid3.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
6		elsn2g 3401	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
7	2, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
8	7	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
9	5, 8	mpbird 156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍})
10		iseqid3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
11		elsn2g 3401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
12	2, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
13	10, 12	mpbird 156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
14		elsni 3390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
15		elsni 3390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
16	14, 15	oveqan12d 5509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
17	16	eleq1d 2106	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
18	13, 17	syl5ibrcom 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
19	18	imp 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
20	1, 4, 9, 19	iseqcl 9092	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍})
21		elsni 3390	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)
22	20, 21	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2554  {csn 3372  ‘cfv 4880  (class class class)co 5490  ℤ_≥cuz 8436  seqcseq 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289  ax-cnex 6947  ax-resscn 6948  ax-1cn 6949  ax-1re 6950  ax-icn 6951  ax-addcl 6952  ax-addrcl 6953  ax-mulcl 6954  ax-addcom 6956  ax-addass 6958  ax-distr 6960  ax-i2m1 6961  ax-0id 6964  ax-rnegex 6965  ax-cnre 6967  ax-pre-ltirr 6968  ax-pre-ltwlin 6969  ax-pre-lttrn 6970  ax-pre-ltadd 6972

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-riota 5446  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-frec 5956  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-lti 6377  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-1nqqs 6421  df-rq 6422  df-ltnqqs 6423  df-enq0 6494  df-nq0 6495  df-0nq0 6496  df-plq0 6497  df-mq0 6498  df-inp 6536  df-i1p 6537  df-iplp 6538  df-iltp 6540  df-enr 6783  df-nr 6784  df-ltr 6787  df-0r 6788  df-1r 6789  df-0 6868  df-1 6869  df-r 6871  df-lt 6874  df-pnf 7033  df-mnf 7034  df-xr 7035  df-ltxr 7036  df-le 7037  df-sub 7155  df-neg 7156  df-inn 7882  df-n0 8145  df-z 8209  df-uz 8437  df-iseq 9081

This theorem is referenced by: (None)