Theorem iseqid3 9561

Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity 𝑍 is for operation +) sums to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqid3.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
iseqid3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqid3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
iseqid3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
iseqid3	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iseqid3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqid3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		iseqid3.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
3		iseqid3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
4		elsn2g 3435	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
6	5	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
7	2, 6	mpbird 165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍})
8		iseqid3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
9		elsn2g 3435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
11	8, 10	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
12		elsni 3424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
13		elsni 3424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
14	12, 13	oveqan12d 5562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
15	14	eleq1d 2148	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
16	11, 15	syl5ibrcom 155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
17	16	imp 122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
18	1, 7, 17	iseqcl 9537	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍})
19		elsni 3424	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)
20	18, 19	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {csn 3406  ‘cfv 4932  (class class class)co 5543  ℤ_≥cuz 8700  seqcseq 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522

This theorem is referenced by: (None)